Question

【題目】根據(jù)國(guó)家環(huán)保部新修訂的《 環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)的年平均濃度不得超過(guò)微克/立方米，的小時(shí)平均濃度不得超過(guò)微克/立方米.我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)年天的小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

組別	濃度（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組
第二組
第三組
第四組

（1）這天的測(cè)量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.

①求圖中的值；

②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說(shuō)明理由；

（2）將頻率視為概率，對(duì)于年的某天，記這天中該居民區(qū)的小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）①；②需要改進(jìn)，理由見(jiàn)解析；（2）分布列見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）①根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；

②根據(jù)頻率直方圖計(jì)算出年該居民區(qū)年平均濃度，與作大小比較，由此可得出結(jié)論；

（2）由題意可知，進(jìn)而可得出隨機(jī)變量的分布列，由此可計(jì)算得出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.

（1）①在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，

則，解得；

②年該居民區(qū)年平均濃度為（微克/立方米），

因?yàn)?/span>，所以年該居民區(qū)年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)；

（2）由題意，的小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為，

的可能取值為、、、，且，

，，，.

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.