Question

已知m∈R，函數f（x）=（x²+mx+m）e^x
（1）若函數沒有零點，求實數m的取值范圍；
（2）當m=0時，求證f（x）≥x²+x³．

Answer 1

分析：（1）由題意可得方程 x²+mx+m=0 無解，故有△=m²-4m＜0，由此求得實數m的取值范圍．
（2）當m=0時，f（x）=x² •e^x，要證的不等式等價于x²（e^x -x-1）≥0．令g（x）=e^x -x-1，利用導數可得g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值為g（0）=0，g（x）≥0恒成立，x²（e^x -x-1）≥0成立，從而得到要證的不等式成立．

解答：解：（1）∵m∈R，函數f（x）=（x²+mx+m）e^x 沒有零點，
∴方程 x²+mx+m=0 無解，∴△=m²-4m＜0，解得 0＜m＜4，
故實數m的取值范圍為（0，4）．
（2）當m=0時，f（x）=x² •e^x，不等式等價于 x² •e^x≥x²+x³ ，
等價于 x² •e^x-x² -x³≥0，等價于 x²（e^x -x-1）≥0．
令g（x）=e^x -x-1，當x＜0時，g′（x）=e^x -1＜0，故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，0）上是減函數．
當x＞0時，g′（x）=e^x -1＞0，故g（x）=e^x -x-1 在（0，+∞）上是增函數．
故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值為g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，
∴x²（e^x -x-1）≥0成立，故要證的不等式成立．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．