Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)兩極值點(diǎn)分別為，，且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)題意可知方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性及極值進(jìn)行求解即可；

（2）要證成立，只需證成立，結(jié)合（1），即證成立，利用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可.

（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

∴方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

又∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴極大值．

又∵有且只有一個(gè)零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴要想函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需．

（2）∵要證成立，∴只需證成立，

∵由（1）知，是方程的兩個(gè)根，即，，

∴，

∵，∴，

又∵，，作差得，即，

∴，∴當(dāng)時(shí)，要證成立，

即證成立，令，，

即證在上恒成立，

令，∴，

∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又∵，∴，在上恒成立，

∴原不等式成立，即當(dāng)時(shí)，成立．