Question

（本小題滿分12分）
如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

解：(Ⅰ) 連結(jié)與交于，
則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，//. 又平面，平面//平面………………4分
（Ⅱ）(解法1)過(guò)作于，由正三棱柱的性質(zhì)可知，
平面，連結(jié)，在正中，
在直角三角形中，
由三垂線定理的逆定理可得.則為二面角的平面角，
又得，
，
∴.故所求二面角的大小為.………………8分
解法（2）（向量法）

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則


。
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則可得
，所以即取
可得
又平面的一個(gè)法向量設(shè)則
又知二面角是銳角,所以二面角 的大小是……………………………………………………………………8分
（Ⅲ）設(shè)求點(diǎn)到平面的距離；因，所以，故，而………………10分
由……………12分

略