Question

已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。
（1）用和表示；
（2）求對(duì)所有都有成立的的最小值；
（3）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由。

Answer 1

（1）；
（2）a的最小值是；
（3），證明見解析.

（1）由已知得，交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對(duì)則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為
由（1）知f(n)=,則
即知，對(duì)于所有的n成立，特別地，取n=2時(shí)，得到a≥
當(dāng),


>2n³+1
當(dāng)n=0,1,2時(shí)，顯然
故當(dāng)a=時(shí)，對(duì)所有自然數(shù)都成立
所以滿足條件的a的最小值是。
（3）由（1）知，則，

下面證明： 
首先證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，
設(shè)函數(shù)

當(dāng)
故g(x)在區(qū)間（0,1）上的最小值g(x)_min=g
所以，當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)≥0,即得
由0<a<1知0<a^k<1(),因此，從而


[點(diǎn)評(píng)]本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力；且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法。