Question

已知橢圓的中心為坐標原點,短軸長為2,一條準線的方程為l:x=2.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)設O為坐標原點,F是橢圓的右焦點,點M是直線l上的動點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值.

Answer 1

(1) +y²=1   (2)見解析

(1)∵橢圓C的短軸長為2,橢圓C的一條準線為l:x=2,
∴不妨設橢圓C的方程為+y²=1.
∴==2,即c=1.
∴橢圓C的方程為+y²=1.
(2)F(1,0),右準線為l:x=2.設N(x₀,y₀),
則直線FN的斜率為k_FN=,直線ON的斜率為k_ON=.
∵FN⊥OM,∴直線OM的斜率為k_OM=-.
∴直線OM的方程為y=-x,
點M的坐標為M(2,-).
∴直線MN的斜率為k_MN=.
∵MN⊥ON,∴k_MNk_ON=-1.
∴·=-1.
∴+2(x₀-1)+x₀(x₀-2)=0,即+=2.
∴ON=為定值.