Question

已知：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（1）求證：B₁D₁⊥AE；
（2）求證：AC∥平面B₁DE；
（3）（文）求三棱錐A-BDE的體積．
（理）求三棱錐A-B₁DE的體積．

Answer 1

分析：（1）先證BD⊥面ACE，從而證得：B₁D₁⊥AE；
（2）作BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．由E、F是CC₁、BB₁的中點，易得AF∥ED，CF∥B₁E，從而平面ACF∥面B₁DE．證得AC∥平面B₁DE；
（3）易知底為面ABD，高為EC，由體積公式求得三棱錐A-BDE的體積．

解答：解：（1）證明：連接BD，則BD∥B₁D₁，（1分）
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．（5分）

（2）證明：作BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．
∵E、F是CC₁、BB₁的中點，∴CE

∥

.

B₁F，
∴四邊形B₁FCE是平行四邊形，
∴CF∥B₁E．（7分）
∵E，F是CC₁、BB₁的中點，∴EF

∥ .

.

BC，
又BC

∥ .

.

AD，∴EF

∥ .

.

AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED，
∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B₁DE．（9分）
又AC?平面ACF，∴AC∥面B₁DE．（10分）

（3）（文）S△ABD=

1

2

AB•AD=2． （11分）
VA-BDE=VE-ABD=

1

3

S△ABD•CE=

1

3

S△ABD•CE=

2

3

．（14分）
（理）∵AC∥面B₁DE
∴A 到面B₁DE 的距離=C到面B₁DE 的距離（11分）
∴VA-B1DE=VC-B1DE=VD-B1EC=

1

3

•(

1

2

•1•2)•2=

2

3

（14分）

點評：本題主要考查線面垂直和面面平行的判定定理，特別要注意作輔助線．