Question

已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是D₁D、BD的中點，G在棱CD上，且CG=

1

4

CD．
（I）求證：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求EF與C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（I）利用三垂線定理或線面垂直的性質證明EF⊥B₁C；
（Ⅱ）根據異面直線所成角的定義，求EF與C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）利用二面角的定義先確定二面角的平面角，然后求二面角的大小．

解答：解：（I）連結D₁B、BC₁
因為E、F分別是D₁D、BD的中點
所以EF∥D₁B，且EF=

1

2

D₁B，
又D₁C₁中⊥面B₁BCC₁，
所以D₁B在平面B₁BCC₁的射影為BC₁
因為BC₁⊥B₁C，
所以由三垂線定理知BC₁⊥D₁C，
所以EF⊥B₁C．
（II）延長CD到點P，使DP=CG，連結D₁P、PB
所以D₁C₁∥PG且D₁C₁=PG，
所以四邊形D₁PGC₁為平行四邊形，
所以D₁P∥C₁G，且D₁P=C₁G，
又由（I）知EF∥D₁B，
所以∠PD₁B為EF與C₁G所成角所成的角．
設正方體的棱長為4，則：D1P2=42+12=17，D1B2=42+42+42=48，PB²=4²+5²=41．
所以cos∠PD1B=

D1P2+D1B2-PB2

2D1P?D1B

=

51

17

．
（III）取DC中點M，連FM，則FM⊥面C₁EG
過M作MN⊥EG于N，連結FN
由三垂線定理，FN⊥EG
∴∠MNF的鄰補角為二面角F-EG-C₁的平面角
設正方體棱長為4，則FM=2
△EDG∽△MNG，
所以MN=

MG?ED

EG

=

1×2

13

=

2 13

13

，
在直角三角形FMN中，tan∠MNF=

FM

MN

=

2

2 13 13

=

13

．，
所以∠MNF=arctan

13

，
所以二面角F-EG-C₁的大小為π-arctan

13

．

點評：本題主要考查空間線面垂直的性質以及空間異面直線和二面角大小的求法，要求根據空間角的定義和求法分別求出對應的空間角．