Question

已知橢圓的兩個焦點分別為,且,點在橢圓上,且的周長為6.
(I)求橢圓的方程;
(II)若點的坐標為,不過原點的直線與橢圓相交于兩點,設線段的中點為,點到直線的距離為,且三點共線.求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）根據題中條件確定、、的值，進而確定橢圓的方程；（Ⅱ）對直線的斜率存在與否進行分類討論，并在相應的情況下求出的最大值，并作出比較，尤其是在處理直線的斜率存在，一般將直線的方程設為，借助韋達定理，確定與之間的關系，然后將化為自變量為或的函數，借助函數的最值來求取，但要注意相應自變量的取值范圍.
試題解析：解:(I)由已知得且,
解得,又,
所以橢圓的方程為.
3分
(II)設.
當直線與軸垂直時,由橢圓的對稱性可知,點在軸上,且與點不重合,
顯然三點不共線,不符合題設條件.
故可設直線的方程為.
由消去整理得
.                ①
則,
所以點的坐標為.
因為三點共線,所以,
因為,所以,
此時方程①為,則,
所以,
又,
所以,
故當時,的最大值為.
13分