Question

（2012•杭州二模）已知函數f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2．
（Ⅰ）設函數F（x）=f（x）-ag（x），若x∈（0，2），函數F（x）不存在極值，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設函數G(x)=

(x-1)[f2(x)+g(x)]

g(x)

，如果對于任意實數x∈（1，t]，都有不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求實數t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數可得F′(x)=

1-ax2

x

(x＞0)，分當a≤0，和a＞0兩種情形來考慮，綜合可得a的范圍；
（Ⅱ）經過多次等價轉化，問題等價于

f2(x)

g(x)

≤

f2(t)

g(t)

，設函數h(x)=

f2(x)

g(x)

，問題等價于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，求導數可得h（x）的單調性，進而可得最值，可得結論．

解答：解：（I）由F(x)=lnx-

1

2

ax2，得F′(x)=

1

x

-ax=

1-ax2

x

(x＞0)，
當a≤0時，F'（x）＞0（x＞0），此時F（x）在（0，2）上無極值，
當a＞0時，所以F（x）在區間(0，

1

a

)上遞增，在區間(

1

a

，+∞)上遞減，
所以要使得F（x）在（0，2）上不存在極值，只要

1

a

≥2，即0＜a≤

1

4

，
綜合以上兩種情況可得a≤

1

4

．（6分）
（II）不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等價于（t-1）G（x）≤（x-1）G（t），
等價于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

，即

f2(x)

g(x)

≤

f2(t)

g(t)

…（8分）
設函數h(x)=

f2(x)

g(x)

，問題等價于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，
即h（t）為h（x）的最大值，而h(x)=

f2(x)

g(x)

=

2ln2x

x2

，所以h′(x)=

4lnx(1-lnx)

x3

(x＞0)，（12分）
故h（x）在區間（e，+∞）上單調遞減，在區間（1，e）上單調遞增，
因此t≤e，即實數t的最大值為e．                                                                   （14分）

點評：本題考查導數法研究函數的單調性和極值問題，涉及等價轉化法，屬中檔題．