Question

【題目】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．

一次購物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顧客數（人）	x	30	25	y	10
結算時間（分鐘/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%．

（Ⅰ）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望；

（Ⅱ）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．

（注：將頻率視為概率）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x＝15，y＝20．

X	1	1.5	2	2.5	3
P

E(X)＝1.9；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據總人數有100人，則，由100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%，則知．根據這兩式得x＝15，y＝20，由表格可得X的可以取值為：1,1.5,2,2.5,3；該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率，即可得到分布列與期望.

（Ⅱ）由于該客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，則該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的情況為（1、1），（1、1.5），（1.5、1）三種情況，則按照各顧客的結算相互獨立，有

P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)

＝×＋×＋×＝．

試題解析：（Ⅰ）由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．

該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得

P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝．

X的分布列為

X	1	1.5	2	2.5	3
P

X的數學期望為

E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9．

（Ⅱ）記A為事件“該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi（i＝1，2）為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則

P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．

由于各顧客的結算相互獨立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以

P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)

＝×＋×＋×＝．

故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為．