Question

（理科）函數y=x+

a

x

(a是常數，且a＞0)有如下性質：①函數是奇函數；②函數在(0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)上是增函數．
（1）如果函數y=x+

2b

x

（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判斷函數y=x2+

c

x2

（常數c＞0）在定義域內的奇偶性和單調性，并加以證明；
（3）對函數y=x+

a

x

和y=x2+

c

x2

（常數c＞0）分別作出推廣，使它們是你推廣的函數的特例．判斷推廣后的函數的單調性（只需寫出結論，不要證明）．

Answer 1

分析：（1）因為2^b＞0，x＞0，所以可用均值不等式求函數的值域，求出的值域與所給值域比較，即可求出b的值．
（2）先求函數的定義域，得到定義域關于原點對稱，計算f（-x），結果等于f（x），所以可判斷函數y=x2+

c

x2

為偶函數．
再利用函數的單調性定義判斷函數的單調性，先證明x＞0的單調性，設0＜x₁＜x₂，作差比較f（x₂）與f（x₁）的大小，得到當

4	c

≤x1＜x2時，f(x2)＞f(x1)，當0＜x1＜x2≤

4	c

，f(x2)＜f(x1)，所以函數f(x)=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞)上是增函數，f（x）在（0，

4	c

]為減函數，當x＜0，時，用同樣的方法證明．
（3）由（1）可推廣當n是奇數時，函數y=xn+

a

xn

的奇偶性和單調性，由（2）可推廣當n是偶數時，函數y=xn+

a

xn

的奇偶性和單調性，注意單調區間的根指數的規律即可

解答：解：（1）∵2^b＞0，x＞0，∴

2b

x

＞0，∴y=x+

2b

x

≥2

x• 2b x

=2

2b

，當且僅當x=

2b

x

，x²=2^b時等號成立．
又∵函數的值域是[6，+∞），即y≥6，∴2

2b

=6，解得，b=long₂9．
（2）設f(x)=x2+

c

x2

，因為x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，
f(-x)=(-x)2+

c

(-x)2

=x2+

c

x2

=f(x)，
∴函數f(x)=x2+

c

x2

為偶函數．
設0＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=

x

2 2

+

c

x 2 2

-

x

2 1

-

c

x 2 1

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(1-

c

x 2 1 x 2 2

)=(

x

1

-

x

2

)(x1+x2)

(x12x22-c )

x 2 1 x 2 2

．
當

4	c

≤x1＜x2時，f(x2)＞f(x1)，
∴函數f(x)=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞)上是增函數；
當0＜x1＜x2≤

4	c

，f(x2)＜f(x1)，f（x）在（0，

4	c

]為減函數，
設x1＜x2≤-

4	c

，，則-x1＞-x2≥

4	c

，因f(x)=x2+

c

x2

是偶函數，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0，
∴函數f(x)=x2+

c

x2

在(-∞，-

4	c

]上是減函數，
同理可證，函數f(x)=x2+

c

x2

在[-

4	c

，0)上是增函數．
（3）可以推廣為研究函數y=xn+

a

xn

(常數a＞0，n是正整數)的單調性．
當n是奇數時，函數y=xn+

a

xn

在[

2n	a

，+∞)和(-∞，-

2n	a

]上是增函數，
在(0，

2n	a

]和[-

2n	a

，0)上是減函數；
當n是偶數時，函數y=xn+

a

xn

在[

2n	a

，+∞)和[-

2n	a

，0)上是增函數，
在(0，

2n	a

]和[-∞，-

2n	a

)上是減函數；

點評：本題主要考查均值定理求函數的最小值，定義法證明函數的單調性，奇偶性，均值定理要考慮成立的條件，定義證明奇偶性時，要先判斷定義域是否關于原點對稱，證明函數的單調性時，要把f（x₂）與f（x₁）的差分解成幾個因式的乘積的形式．