Question

（理科做）已知函數f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數，函數g（x）=x²-alnx在區間（1，2）上為增函數．
（1）求實數a的值；
（2）當-1＜m＜0時，判斷方程f（x）=2g（x）+m的解的個數，并說明理由；
（3）設函數y=f（bx）（其中0＜b＜1）的圖象C₁與函數y=g（x）的圖象C₂交于P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N．證明：曲線C₁在點M處的切線與曲線C₂在點N處的切線不平行．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數可得a≥2，再根據函數g（x）=x²-alnx在區間[1，2]上為增函數，得到a≤2，因此可得a=2．
（2）將方程f（x）=2g（x）+m轉化為2g（x）+m-f（x）=0，可設出h（x）=2g（x）+m-f（x）=x²+2x-4lnx+m-3，通過求導數討論函數h（x）的單調性得到h_min（x）=h（1）=m，最后用根的存在性定理可以驗證，得到f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有兩個解．
（3）分三步走：
①根據導數的幾何意義分別求出曲線C₁、C₂在點M、N的斜率關于橫坐標的關系式；
②假設兩切線平行，得到k₁=k₂，通過去分母整理變形為：f（bx₁）+f（bx₂）+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2，利用
f（bx₁）+f（bx₂）=g（x₁）+g（x₂）代入再整理，可得到lnx₁x₂=（b²-1）x₁x₂-1；
③以x₁x₂=t為自變量進行研究，得到一個新的函數F（t）=（1-b²）t+lnt+1，可用導數證得F（t）在（0，+∞）內單調增且最小值大于1，從而說明k₁=k₂變形得到的方程無實數根．
由以上三步可知：曲線C₁在點M處的切線與曲線C₂在點N處的切線不平行．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x²-ax+3圖象是開口向上的拋物線，
關于直線x=

a

2

對稱，在（0，1）上為減函數，
∴

a

2

≥1，得a≥2…2分
又∵函數g（x）=x²-alnx在區間[1，2]上為增函數
∴g′(x)=2x-

a

x

，解g′（x）≥0得2x²≥a
∴a≤（2x²）_min=2m，所以a=2…4分
（2）令h（x）=2g（x）+m-f（x）=x²+2x-4lnx+m-3
可得h′(x)=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上為減函數
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上為增函數…7分
h_min（x）=h（1）=m
∴h（x）≥h（1）=m…10分
當-1＜m＜0時，
∵h(

1

e

)=

1

e2

+

2

e

+1+m＞0，h(1)=m＜0
h（e）=e²+2e+m-7＞e²+2e-8＞0
∴∴h（x）在區間(

1

e

，1)和（1，e）內各有一個零點
即f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有兩個解…14分．
（3）設點P、Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標都為x=

x1+x2

2

，
C₁：y=f（bx）=b²x²-2bx+3在點M處的切線斜率為2b²x-2b，
取x=

x1+x2

2

，得k₁=2b²•（

x1+x2

2

）-2b=b²（x₁+x₂）-2b，
C₂：g（x）=x²-2lnx在點N處的切線斜率為2x-

2

x

，
取x=

x1+x2

2

，k₂=（x₁+x₂）-

4

x1+x2

．
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂
可得：b²（x₁+x₂）-2b=（x₁+x₂）-

4

x1+x2

．
∴b²（x₁+x₂）²-2b（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²-4
即b²x₁²+2b²x₁x₂+b²x₂²-2b（x₁+x₂）=x₁²+2x₁x₂+x₂²-4
∴（b²x₁²-2bx₁+3）+（b²x₂²-2bx₂+3）+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2
即f（bx₁）+f（bx₂）+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2
∵f（bx₁）+f（bx₂）=g（x₁）+g（x₂）
∴x₁²-2lnx₁+x₂²-2lnx₂+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2
即2lnx₁+2lnx₂=（2b²-2）x₁x₂-2⇒lnx₁x₂=（b²-1）x₁x₂-1
令x₁x₂=t（t＞0），得lnt=（b²-1）t-1⇒（1-b²）t+lnt+1=0…（*）
再設F（t）=（1-b²）t+lnt+1，因0＜b＜1得F′（t）=1-b²+

1

t

＞0恒成立，
又∵t＞0∴F（t）＞1恒為正數，說明方程（*）在（0，+∞）上沒有解，
從而原假設不成立，說明k₁≠k₂
綜上所述，可得曲線C₁在點M處的切線與曲線C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題著重考查了利用導數研究函數的單調性、根的存在性及根的個數判斷和利用導數研究曲線上某點切線方程等知識點，屬于難題．請同學們注意解題過程中的轉化化歸和分類討論的數學思想．