Question

（理科）已知函數y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的實常數．
（1）若函數y=f（x），x∈R是周期函數，寫出符合條件a的值；
（2）若當0≤x＜1時，f（x）=x（1-x），且函數y=f（x）在區間[0，+∞）上的值域是閉區間，求a的取值范圍；
（3）若當0＜x≤1時，f（x）=3^x+3^-x，試研究函數y=f（x）在區間（0，+∞）上是否可能是單調函數？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出當a=1時，得到T=1，再求當a=-1時，f（x+1）=-f（x），f（x+2）=-f（x+1）=f（x），然后再求周期．
（2）在區間[n，n+1）上取變量，利用“f（x+1）=af（x）”逐步將變量轉化到區間[0，1]上，用f（x）=x（1-x）求解．
（3）由于f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x），易知f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x），x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z當a＞0時是增函數，由“函數y=f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數”，有2an+1≥

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3

an求解即可．

解答：解：（1）a=1時，T=1，
a=-1時，f（x+1）=-f（x），f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴T=2；
（2）當n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₀（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），
∴-

1

4

|a|n≤fn(x)≤

1

4

|a|n；
當|a|＞1時f（x）∈（-∞，+∞）舍去；
當a=1時f(x)∈[0，

1

4

]符合，當a=-1時f(x)∈[-

1

4

，

1

4

]符合；
當0＜a＜1時f(x)∈[0，

1

4

]符合，當-1＜a＜0時f(x)∈[0，

1

4

]符合；∴a∈[-1，0）∪（0，1]．
（3）當n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），∴f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x）；
易證函數f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x），x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z當a＞0時是增函數，
此時∴fn(x)∈[2an，

10

3

an]，
若函數y=f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數，則必有2an+1≥

10

3

an，解得：a≥

5

3

；
顯然當a＜0時，函數y=f（x）在區間[0，+∞）上不是單調函數；
所以a≥

5

3

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數的周期性、函數與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．