Question

已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),則tanβ的最大值是　　　　.

 

Answer 1

【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化簡得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,

∴tan(α+β)=2tanα,

∴tanβ=tan(α+β-α)=

==.

由題意知,tanα>0,

∴+2tanα≥2

(當且僅當=2tanα,即tanα=時等號成立),

∴tanβ的最大值為=.

【方法技巧】三角函數(shù)和差公式的靈活應用

(1)三角函數(shù)和差公式在三角函數(shù)式的化簡和求值中經常用到,因此公式的靈活應用非常關鍵,公式可以正用、逆用、變形應用.

(2)逆用關鍵在于構造公式的形式,方法是通過三角恒等變換,出現(xiàn)和或差的形式,即出現(xiàn)能逆用公式的條件;有時通過兩式平方相加減,利用平方關系式,切函數(shù)化成弦函數(shù)等技巧.