Question

【題目】正方形ABCD一條邊AB所在方程為x+3y﹣5=0，另一邊CD所在直線方程為x+3y+7=0，
（Ⅰ）求正方形中心G所在的直線方程；
（Ⅱ）設正方形中心G（x0 ， y0），當正方形僅有兩個頂點在第一象限時，求x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由于正方形中心G所在直線平行于直線x+3y﹣5=0，
設中心所在直線為x+3y+c=0，
由平行線間的距離公式得 = ．
解得c=1．
則正方形中心G所在的直線方程為x+3y+1=0；
（Ⅱ）由平行線間的距離公式得正方形的邊長為d= = ．
設正方形BC，AD所在直線方程為3x﹣y+m=0，
由于中心G（x0 ， y0）到BC的距離等于 = ，
那么 = ，
解得m=±6﹣3x0+y0 ①，
又因為G在直線x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0，即y0=﹣ ②，
把②代入①得m=±6﹣ ③，
聯立方程 ，
解得 ．
由于正方形只有兩個點在第一象限，那么 ，
就是 ，
解得﹣15＜m＜ ⑤，
把③代入⑤得到﹣15＜±6﹣ ＜ ，
解得 ＜x0＜ ．
故x0的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）設中心所在直線為x+3y+c=0，結合正方形的性質和平行線間的距離公式求得c的值；（Ⅱ）由平行線間的距離公式得正方形的邊長．設正方形BC，AD所方程為3x﹣y+m=0，聯立點G所在直線x0+3y0+1=0，得到 ．結合限制性條件正方形僅有兩個頂點在第一象限，得到﹣15＜m＜ ，易求x0的取值范圍為 ．
【考點精析】本題主要考查了兩平行線的距離的相關知識點，需要掌握已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，，則與的距離為才能正確解答此題．