Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，如果

Sn

S2n

為常數，則稱數列{a_n}為“科比數列”．
（Ⅰ）已知等差數列{b_n}的首項為1，公差不為零，若{b_n}為“科比數列”，求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{c_n}的各項都是正數，前n項和為S_n，若c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²對任意n∈N^*都成立，試推斷數列{c_n}是否為“科比數列”？并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列{b_n}的公差為d，根據

Sn

S2n

=k，b₁=1，整理得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．因為對任意正整數n上式恒成立，進而可得關于k和d的方程組，求得k和d，進而求得{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）先由題意求得a₁，當n≥2時根據c_n=S_n-S_n-1，求得數列{c_n}的通項公式，進而代入

Sn

S2n

不是常數故推斷數列{c_n}不是“科比數列”．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{b_n}的公差為d（d≠0），

Sn

S2n

=k，因為b₁=1，則n+

1

2

n(n-1)d=k[2n+

1

2

•2n(2n-1)d]，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
因為對任意正整數n上式恒成立，則

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，解得

d=2 k= 1 4

．
故數列{b_n}的通項公式是b_n=2n-1．
（Ⅱ）由已知，當n=1時，c₁³=S₁²=c₁²．因為c₁＞0，所以c₁=1．
當n≥2時，c₁³+c₂³+c₃³++c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³++c_n-1³=S_n-1²．
兩式相減，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．
因為c_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．
顯然c₁=1適合上式，所以當n≥2時，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．
于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．
因為c_n+c_n-1＞0，則c_n-c_n-1=1，所以數列{c_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
所以

Sn

S2n

=

n(n+1)

2n(2n+1)

=

n+1

4n+2

不為常數，故數列{c_n}不是“科比數列”．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式和數列求和問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．