Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由1﹣3x≠0得x≠0，

故函數f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

由f（x）= ，可得3x= ＞0，

求得f（x）＞1，或f（x）＜﹣1，

f（x）的值域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）解：f（x）為奇函數，理由如下：

因為函數f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

且 ，

所以，f（x）為奇函數．

【解析】（1）由1﹣3x≠0得x≠0，求得函數f（x）的定義域，由3x= ＞0，求得f（x）的范圍，可得f（x）的值域．（2）因為函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）為奇函數．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的定義域及其求法和函數的值域的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．