Question

【題目】已知拋物線（），過其焦點作斜率為1的直線交拋物線于， 兩點，且，

（1）求拋物線的方程；

（2）已知動點的圓心在拋物線上，且過點，若動圓與軸交于兩點，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）設直線與拋物線聯立方程組，利用韋達定理得到x1+x2=2p，y1+y2=3p，通過|MN|=y1+y2+p=4p=16，求出p，即可求出拋物線C的方程．

（2）設動圓圓心，得，求的表達式，推出x0的范圍，然后求解的最小值.

試題解析：

（1）：

聯立，

設，則

又因為直線過焦點，則，

所以該拋物線的方程為： ．

（2）設，由于圓過點，

則圓P的方程為： ，

令，則．由對稱性， ，不妨，則．

故

由于，

故，（ 時取等）

所以的最小值為．