Question

【題目】

在直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有||>||．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）略.

【解析】

(I)根據橢圓定義可知a=2,,所以b=1,再注意焦點在y軸上，曲線C的方程為.

(II) 直線與橢圓方程聯立，消y得關于x的一元二次方程，再根據坐標化為，借助直線方程和韋達定理建立關于k的方程，求出k值.

(III)要證：||>||,，再根據A在第一象限，故,,從而證出結論.

解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為． 3分

（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，

故． 5分

若，即．而，

于是，

化簡得，所以． 8分

（Ⅲ）

．

因為A在第一象限，故．由知，從而．又，

故，

即在題設條件下，恒有． 12分