Question

【題目】已知是拋物線的焦點， 為拋物線上不同的兩點， 分別是拋物線在點、點處的切線， 是的交點．

（1）當直線經過焦點時，求證：點在定直線上；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析: (1)利用導數的幾何意義,分別求出切線PA,PB的斜率,再寫出直線方程,求出交點P的坐標,聯立直線AB的方程和拋物線方程,求出 ,即P點縱坐標為定值 ,得證; (2)假設直線AB的方程 ,聯立直線和拋物線方程,求出,由兩點間的距離公式,得到 ,化簡 ,得出值.

試題解析:(Ⅰ)拋物線，則，

∴切線的方程為，即，同理切線的方程為，

聯立得點 ， 設直線的方程為，代入得。所以所以點在直線上

(Ⅱ) 設直線的方程為，代入得。

，所以，

點睛:本題主要考查直線與拋物線位置關系, 屬于中檔題. 本題思路): (1)由導數求出切線PA,PB方程, 得出交點P坐標, 聯立直線AB的方程和拋物線方程, 由韋達定理得出 為定值,即點P縱坐標為定值; (2) 假設直線AB的方程 ,聯立直線和拋物線方程,由 ,求出 之間的關系,化簡 ,將 之間的關系代入,求出值.