Question

已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，且圓心C在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．
(1)求圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線l₁與l垂直，且直線l₁與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

（1）x²＋y²＝4   （2）7

(1)設(shè)圓心C(a，a)，半徑為r，因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，
所以|AC|＝|BC|＝r，即＝＝r，解得a＝0，r＝2.
故所求圓C的方程為x²＋y²＝4.
(2)設(shè)圓心C到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，四邊形PMQN的面積為S.
因?yàn)橹本�l，l₁都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且l₁⊥l，根據(jù)勾股定理，有d₁²＋d²＝1.
又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，
所以S＝|PQ|·|MN|，
即S＝×2××2×＝
2＝2≤
2＝2＝7，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁＝d時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形PMQN面積的最大值為7.