Question

（2007•楊浦區二模）如圖，某小區準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值

S1

S2

稱為“規劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）當a為定值，θ變化時，求“規劃合理度”取得最小值時的角θ的大小．
（3）（文）當a為定值，θ=15⁰時，求“規劃合理度”的值．

Answer 1

分析：（1）據題知三角形ABC為直角三角形，根據三角函數分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值

S1

S2

稱為“規劃合理度”，可設t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ．
（3）將θ=15°代入兩面積的函數解析式，然后求出兩面積的比值即可得到“規劃合理度”的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=

1

2

AB•AC=

1

2

a2sinθcosθ（3分）
設正方形的邊長為x則 BP=

x

sinθ

，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得

x

sinθ

+xcosθ=acosθ，故 x=

asinθcosθ

1+sinθcosθ

所以 S2=x2=(

asinθcosθ

1+sinθcosθ

)2（6分）
（2）

S1

S2

=

1

2

•

(1+sinθcosθ)2

sinθcosθ

=

(1+ 1 2 sin2θ)2

sin2θ

=

1

sin2θ

+

1

4

sin2θ+1，（8分）
令t=sin2θ，因為 0＜θ＜

π

2

，
所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以

S1

S2

=

1

t

+

1

4

t+1=g(t)，g′(t)=-

1

t2

+

1

4

＜0，
所以函數g（t）在（0，1]上遞減，（11分）
因此當t=1時g（t）有最小值 g(t)min=g(1)=

9

4

，
此時 sin2θ=1，θ=

π

4

所以當 θ=

π

4

時，“規劃合理度”最小，最小值為

9

4

．（12分）
（3）θ=15⁰時，S1=

1

4

a2sin30°=

1

8

a2，S2=(

asin30°

2+sin30°

)2=

a2

25

，（12分）
所以，

S1

S2

=

25

8

（14分）

點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數關系的能力，以及在實際問題中建立三角函數模型的能力，屬于中檔題．