Question

已知函數y=f（x）（x∈R），對函數y=g（x）（x∈I），定義g（x）關于f（x）的“對稱函數”為函數y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對任意x∈I，兩個點（x，h（x）），（x，g（x））關于點（x，f（x））對稱．若h（x）是g（x）=

4-x2

關于f（x）=3x+b的“對稱函數”，且h（x）＞g（x）恒成立，則實數b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,奇偶函數圖象的對稱性

專題：函數的性質及應用

分析：根據對稱函數的定義，將不等式恒成立轉化為直線和圓的位置關系，即可得到結論．

解答： 解：根據“對稱函數”的定義可知，

h(x)+ 4-x2

2

=3x+b，
即h（x）=6x+2b-

4-x2

，
若h（x）＞g（x）恒成立，
則等價為6x+2b-

4-x2

＞

4-x2

，
即3x+b＞

4-x2

恒成立，
設y₁=3x+b，y₂=

4-x2

，
作出兩個函數對應的圖象如圖，
當直線和上半圓相切時，圓心到直線的距離d=

|b|

1+32

=

|b|

10

=2，
即|b|=2

10

，
∴b=2

10

或-2

10

，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
則b＞2

10

，
即實數b的取值范圍是（2

10

，+∞），
故答案為：（2

10

，+∞）

點評：本題主要考查對稱函數的定義的理解，以及不等式恒成立的證明，利用直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．