Question

【題目】某景區修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示．圓的圓心與矩形對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點)，與左右兩邊相交(， 為其中兩個交點)，圖中陰影部分為不透光區域，其余部分為透光區域．已知圓的半徑為1m，且．設，透光區域的面積為．

（1）求關于的函數關系式，并求出定義域；

（2）根據設計要求，透光區域與矩形窗面的面積比值越大越好．當該比值最大時，求邊的長度．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: 根據題意表示出所需的線段長度，再分別求三角形和扇形面積，從而表示出總面積，再根據題意要求求出函數的定義域；根據題意表示出“透光比”函數，借助求導，研究函數單調性求出最大值.

試題解析:（1）過點作于點，則，

所以，

．

所以，

因為，所以，所以定義域為．

（2）矩形窗面的面積為．

則透光區域與矩形窗面的面積比值為．…10分

設， ．

則

，

因為，所以，所以，故，

所以函數在上單調減．

所以當時， 有最大值，此時 (m)．

答：（1）關于的函數關系式為，定義域為；

（2）透光區域與矩形窗面的面積比值最大時， 的長度為1m．