Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）為f（x）的導函數，求g（x）單調區間；
（2）已知函數f（x）在x=1處取得極大值，求實數a取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f′（x）=ln x﹣2ax+2a，

可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），

所以g′（x）= ﹣2a= ，

當a≤0，x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；

當a＞0，x∈（0， ）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增，

x∈（ ，+∞）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．

所以當a≤0時，g（x）的單調增區間為（0，+∞）；

當a＞0時，g（x）的單調增區間為（0， ），單調減區間為（ ，+∞）

（2）解：由（1）知，f′（1）=0．

①當0＜a＜ 時， ＞1，由（1）知f′（x）在（0， ）內單調遞增，

可得當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1， ）時，f′（x）＞0．

所以f（x）在（0，1）內單調遞減，在（1， ）內單調遞增，

所以f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．

②當a= 時， =1，f′（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）內單調遞減，

所以當x∈（0，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減，不合題意．

③當a＞ 時，0＜ ＜1，當x∈（ ，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

④a≤0時，x∈（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，

故f（x）在x=1處取極小值，不合題意；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

所以f（x）在x=1處取極大值，符合題意．

綜上可知，實數a的取值范圍為（ ，+∞）

【解析】（1）先求的函數f（x）的導函數g（x），再由g（x）的導函數求得g（x）的單調區間；（2）函數f（x）在x=1處取得極大值，那么當x<1時
f′（x）>0，當x>1時f′（x）<0，然后對a進行分類討論，最后求得實數a的取值范圍.
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．