Question

【題目】設函數f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若對x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|=|x+1|﹣2|x﹣2|≥1，

x≥2時，x+1﹣2x+4≥1，解得：x≤4，

﹣1＜x＜2時，x+1+2x﹣4≥1，解得：x≥ ，

x≤﹣1時，﹣x﹣1+2x﹣4≥1，無解，

故不等式的解集是[ ，4]；

（2）解：若對x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，

即若對x∈R，都有|x+1|+|x﹣2|＞m，

而|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|=3，

故m＜3．

【解析】（1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集，取并集即可；（2）根據絕對值的性質求出f（x）+3|x﹣2|的最小值，從而求出m的范圍即可．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．