Question

【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．點(diǎn)E，F，O分別為線段PA，PB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)．

（1）求證：FG∥平面EBO；

（2）求證：PA⊥BE．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）連AF交BE于Q，連QO．由線段長(zhǎng)度間的關(guān)系證明FG∥QO，進(jìn)而證得FG∥平面EBO．

（2）先證明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，從而證得PA⊥平面EBO，即可證出結(jié)論.

（1）連AF交BE于Q，連QO．因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，

所以＝2．又Q是△PAB的重心．于是＝2＝，所以FG∥QO．

因?yàn)镕G平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．

（2）由AB＝BC，得△ACB為等腰三角形，因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC，

因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO平面ABC，所以BO⊥面PAC．

因?yàn)镻A平面PAC，故 BO⊥PA．在△PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點(diǎn)，故 OE∥PC，

且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB平面EBO，所以PA⊥BE.