Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，PA=PD=CD=BC=1.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出AD⊥BD，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面ABCD．

（2）取AD中點O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，以O為坐標(biāo)原點，以過點O且平行于BC的直線為x軸，過點O且平行于AB的直線為y軸，直線PO為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

（1）∵AB∥CD，∠BCD，PA＝PD＝CD＝BC＝1，

∴BD，∠ABC，，∴，

∵AB＝2，∴AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，

∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，

∵BD平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

（2）取AD中點O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，且PO，

由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，

以O為坐標(biāo)原點，以過點O且平行于BC的直線為x軸，過點O且平行于AB的直線為y軸，

直線PO為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），

（﹣1，0，0），（，），

設(shè)平面PBC的法向量（x，y，z），

則，取z，得（0，，），

∵（，），

∴cos，

∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．