Question

如圖，實線部分DE，DF，EF是某風景區設計的游客觀光路線平面圖，其中曲線部分EF是以AB為直徑的半圓上的一段弧，點O為圓心，△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，其中AB=2千米，．若游客在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應的線段或弧的長度成正比，且“留戀度”與路線DE，DF的長度的比例系數為2，與路線EF的長度的比例系數為1，假定該風景區整體的“留戀度”y是游客游覽所有路線“留戀度”的和．
（I）試將y表示為x的函數；
（II）試確定當x取何值時，該風景區整體的“留戀度”最佳？

Answer 1

解：（Ⅰ）因為OA==1，∠EOA=∠FOB=2x，所以弧AE等于弧BF的長等于2x，
又半圓周長為π，所以弧EF的長為π-4x，連結OD，則由OD=OE=OF=1，，
所以DE=DF==．
又因為在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應的線段或弧的長度成正比，且“留戀度”與路線DE，DF的長度的比例系數為2，與路線EF的長度的比例系數為1，
所以，y= （0＜x＜）；
（Ⅱ）由y= （0＜x＜），
得：，
由y^′=0，得：，
所以，解得x=．
又當x∈時，y^′＞0，所以此時y在上單調遞增，
當x∈時，y^′＜0，所以此時y在上單調遞減，
故當x=時，函數y有最大值，
答：當x=時，該風景區整體的“留戀度”最佳．
分析：（Ⅰ）由弧長公式求出弧AE與BF的長度，由圓的周長公式求出半圓的長度，則弧EF的長度可求，連結OD后，在三角形ODE和三角形ODF中，利用余弦定理可求DE和DF的長度，然后根據游客在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應的線段或弧的長度成正比，且“留戀度”與路線DE，DF的長度的比例系數為2，與路線EF的長度的比例系數為1，該風景區整體的“留戀度”y是游客游覽所有路線“留戀度”的和將y表示為x的函數；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中函數的導函數，解出導函數的零點，由零點把定義域分段，根據導函數的符合判斷原函數在各段內的單調性，從而得到極值點，確定出當x取何值時，該風景區整體的“留戀度”最佳．
點評：本題是一個數學建模問題，解答的關鍵是讀懂題意，正確列出函數表達式，然后利用導數求函數在開區間內的極值，進一步得到函數在閉區間內的最值．此題屬中檔題．