Question

某廣告公司為2010年上海世博會設計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線部分所示．其上部分是以AB為直徑的半圓，點O為圓心，下部分是以AB為斜邊的等腰直角三角形，DE，DF是兩根支桿，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜

π

4

）．現在弧EF、線段DE與線段DF上裝彩燈，在弧AE、弧BF、線段AD與線段BD上裝節能燈．若每種燈的“心悅效果”均與相應的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數為2k，節能燈的比例系數為k（k＞0），假定該霓虹燈整體的“心悅效果”y是所有燈“心悅效果”的和．
（1）試將y表示為x的函數；
（2）試確定當x取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳．

Answer 1

分析：（1）由題意知，建立三角函數模型，根據所給的條件看出要用的三角形的邊長和角度，用余弦定理寫出要求的邊長，表述出函數式，整理變化成最簡的形式，得到結果．
（2）要求函數的單調性，對上一問整理的函數式求導，利用導數求出函數的單增區間和單減區間，看出變量x取到的結果．

解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的長分別為π-4x，2x，2x
連接OD，則由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+

π

2

∴DE=DF=

1+1-2cos(2x+ π 2 )

=

2+2sin2x

=

2

(sinx+cosx)，
∴y=2k(2

2

(sinx+cosx)+π-4x)+k(2

2

+4x)
=2k(2

2

(sinx+cosx)-2x+

2

+π)；
（2）∵由y′=4k(

2

(cosx-sinx)-1)=0，
解得cos(x+

π

4

)=

1

2

，
即x=

π

12

，
又當x∈(0，

π

12

)時，y'＞0，此時y在(0，

π

12

)上單調遞增；
當x∈(

π

12

，

π

4

)時，y'＜0，此時y在(

π

12

，

π

4

)上單調遞減．
故當x=

π

12

時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳．

點評：本題是一道難度較大的題，表現在以下幾個方面第一需要自己根據條件建立三角函數模型寫出解析式，再對解析式進行整理運算，得到函數性質，這是一個綜合題，解題的關鍵是讀懂題意．