Question

如圖，實線部分是某公園設計的游客觀光路線平面圖，曲線部分是以AB為直徑的半圓，點O為圓心，△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x(0＜x＜

π

4

)．若游客在每條路線上游覽的“心悅效果”均與相應的線段或弧的長度成正比，且中間路線DE，DF，EF的比例系數為2k，兩邊路線DA，DB，AE，BF的比例系數為k（k＞0），假定該公園整體的“心悅效果”y是游客游覽所有路線“心悅效果”的和．
（1）試將y表示為x的函數；
（2）試確定當x取何值時，該公園整體的“心悅效果”最佳？

Answer 1

分析：（1）由題意知，建立三角函數模型，根據所給的條件看出要用的三角形的邊長和角度，用余弦定理寫出要求的邊長，表述出函數式，整理變化成最簡的形式，得到結果．
（2）要求函數的單調性，對上一問整理的函數式求導，利用導數求出函數的單增區間和單減區間，看出變量x取到的結果．

解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的長分別為π-4x，2x，2x
連接OD，則由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+

π

2

，
∴DE=DF=

1+1-2cos(2x+ π 2 )

=

2+2sin2x

=

2

（sinx+cosx），
∴y=2k[2

2

（sinx+cosx）+π-4x]+k（2

2

+4x）=2k[2

2

（sinx+cosx）-2x+

2

+π]；
（2）∵由y′=4k[

2

（cosx-sinx）-1]=0，
解得：cos（x+

π

4

）=

1

2

，即x=

π

12

，
又當x∈（0，

π

12

）時，y'＞0，此時y在（0，

π

12

）上單調遞增；
當x∈（

π

12

，

π

4

））時，y'＜0，此時y在（

π

12

，

π

4

）上單調遞減．
故當x=

π

12

時，該公園整體的“心悅效果”最佳．

點評：本題是一道難度較大的題，表現在以下幾個方面第一需要自己根據條件建立三角函數模型寫出解析式，再對解析式進行整理運算，得到函數性質，這是一個綜合題，解題的關鍵是讀懂題意．