Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2時，函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（II）若a=2，b=1，若函數k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數k的取值范圍；
（III）設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交于P，Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于M、N兩點，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）h（x）=lnx+x²-bx，且函數的定義域為（0，+∞）
∴依題知h′(x)=

1

x

+2x-b≥0對（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x
∵x＞0，
∴b≤2

2

（II）函數k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個不同的零點等價于方程
x-2lnx=a，在[1，3]上恰有兩個相異實根．
令m（x）=x-2lnx，
∴m′(x)=1-

2

x

∴m（x）在[1，2]上單減，在（2，3]上單增，
m（x）的最小值是2-2ln2
故2-2lnx＜k＜3-2ln3
（III）設點P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
則PQ的中點R的橫坐標

x1+x2

2

C₁在點M處的切線的斜率為k1=

2

x1+x2

C₂在點N處的切線的斜率為k2=

x1+x2

2

+b
假設C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則斜率相等
即ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

設u=

x2

x1

＞1
則lnu=

2(u-1)

1+u

①
令r（u）=lnu-

2(u-1)

1+u

（u＞1）
則r′(u)=

(u-1)2

u(1+u)2

∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）單調遞增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞

2(u-1)

u+1

②
∵①與②矛盾，
∴假設不成立，故C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．