Question

【題目】設點O為坐標原點，橢圓 的右頂點為A，上頂點為B，過點O且斜率為 的直線與直線AB相交M，且 ．
（Ⅰ）求證：a=2b；
（Ⅱ）PQ是圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一條直徑，若橢圓E經過P，Q兩點，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵A（a，0），B（0，b）， ，

即為（a﹣xM，0﹣yM）= （xM﹣0，yM﹣b），

即有a﹣xM= xM，﹣yM= （yM﹣b），

所以 ，

∴ ，解得a=2b；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴橢圓E的方程為 ，即x2+4y2=4b2（1）

依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點，且 ．

由對稱性可知，PQ與x軸不垂直，設其直線方程為y=k（x﹣2）+1，

代入（1）得：

（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ， ，

由 得 ，解得 ．

從而x1x2=8﹣2b2．

于是

解得b2=4，a2=16，∴橢圓E的方程為

【解析】（Ⅰ）運用向量的坐標運算，可得M的坐標，進而得到直線OM的斜率，進而得證；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，橢圓方程設為x2+4y2=4b2（1），設PQ的方程，代入方程（1），運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，解方程即可得到a，b的值，進而得到橢圓方程．