Question

已知等腰梯形PDCB中（如圖1），PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如圖2）．
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）試在棱PB上確定一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA：V_MABC=2：1．
（3）在M滿足（Ⅱ）的情況下，判斷直線AM是否平行面PCD．

Answer 1

分析：（I）依題意知：CD⊥AD，即可根據面面垂直的性質定理可得：所以DC⊥平面PAD，再根據面面垂直的判定定理可得：平面PAD⊥平面PCD．
（II）根據（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD．在AB上取一點N，MN⊥平面ABCD，設MN=h，再分別計算出V_PDCMA與V_MABC的數值，并且結合題意可得h=

1

2

，所以M為PB的中點．
（III）根據題意作AQ⊥PD，所以

AQ

是平面PCD的法向量．分別計算出

AQ

=(

1

2

，0，

1

2

)，

AM

=(0，1，

1

2

)，因為

AQ

•

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)(0，1，

1

2

)，所以

AQ

不垂直

AM

．

解答：證明：（I）依題意知：CD⊥AD，并且CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，面PAD⊥面ABCD，
所以DC⊥平面PAD，
又因為DC?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（II）根據（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，因為PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
在AB上取一點N，使得MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
設MN=h
則VM-ABC=

1

3

S△ABCh=

1

3

×

1

2

×2×1×h=

h

3

，
VPDCMA=

1

3

sABCD•PA- 

1

3

S△ABCh=

1

2

-

h

3

，
所以要使V_PDCMA：V_MABC=2：1，即

1 2 - h 3

h 3

 =2，
解得h=

1

2

，
所以M為PB的中點．
（III）以A為原點，AD、AB、AP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系

則A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）
由（I）知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，
則AQ⊥平面PCD，則

AQ

是平面PCD的法向量．
又因為△PAD為等腰直角三角形，所以Q為PD的中點，即Q（

1

2

，0，

1

2

），
所以

AQ

=(

1

2

，0，

1

2

)， 

AM

=(0，1，

1

2

)，
因為

AQ

•

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)(0，1，

1

2

)，
所以

AQ

不垂直

AM

，
所以AM與平面PCD不平行．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而利用有關定理得到線面關系，以及建立適當的坐標系利用向量的有關運算解決線面問題．