Question

已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=

2

，A為PB邊上一點，且DA⊥PB，將△PAD沿AD折起，使PA⊥AB．
（1）求證：CD∥面PAB；
（2）求證：CB⊥面PAC．

Answer 1

分析：（1）由已知中四邊形PDCB為梯形，根據梯形的定義可得CD∥AB，結合對折后，CD?面PAB，且AB?面PAB，由線面平行的判斷定理可得CD∥面PAB；
（2）由對折前DA⊥PB，可得PA⊥AD，結合對折后PA⊥AB，及線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABD，進而BC⊥PA，再由勾股定理，證出BC⊥AC后，由線面垂直的判定定理可得CB⊥面PAC

解答：證明：（1）∵四邊形PDCB為梯形
∴CD∥AB
由于對折后CD?面PAB，且AB?面PAB
∴CD∥面PAB；
（2）在等腰梯形PDCB中，
∵PB=3，DC=1，PD=

2

，
∴AC=BC=

2

，AB=2
由勾股定理可得BC⊥AC
又∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABD
又∵BC?平面ABD
∴BC⊥PA，
又PA∩AC=A，
∴CB⊥面PAC

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得CD∥AB，（2）的關鍵是證得BC⊥PA，及BC⊥AC．