Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是邊長為2的等邊三角形， ．
（Ⅰ）求證：平面PAM⊥平面PDM；
（Ⅱ）若點E為PC中點，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵△ABM是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，∴ ， 又 ，∴CM=3，∴AD=3+1=4，∴AD2=DM2+AM2 ， ∴DM⊥AM．
又PA⊥底面ABCD，∴DM⊥PA，∴DM⊥平面PAM，
∵DM平面PDM，∴平面PAM⊥平面PDM．
（Ⅱ）以D為原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，
過D且與PA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，

則 ， ， ，
設平面PMD的法向量為 ，
則 ，
取x1=3，∴ ．
∵E為PC中點，則 ，
設平面MDE的法向量為 ，
則 ，取x2=3，∴ ．
由 ．
∴二面角P﹣MD﹣E的余弦值為
【解析】（Ⅰ）證明DM⊥AM．DM⊥PA，推出DM⊥平面PAM，即可證明平面PAM⊥平面PDM．（Ⅱ）以D為原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，過D且與PA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面PMD的法向量，平面MDE的法向量，利用向量的 數量積求解二面角P﹣MD﹣E的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．