Question

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線段上，且， ， 為的中點(diǎn)， 在線段上，且．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)平面與平面所成的二面角的正弦值為時(shí)，求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）接，作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，結(jié)合中位線及平行的傳遞性可得，故可得平面，由線面平行判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量與二面角平面角之間關(guān)系可得： ，由棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，

，在中， ， ， ，由余弦定理得．　

所以，從而有.

在中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，

則， ，

因?yàn)?/span>，所以.

由平面， 平面，

得，又， ，

得平面，又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， .

平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

由， ，得令，得.

由題意可得， ，

解得，

所以四棱錐的體積.