Question

(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，底面為菱形，，為的中點，。
 
（1）求證：平面;
(2) 求四棱錐的體積
（3）在線段上是否存在點，使平面；  若存在，求出的值。

Answer 1

（1）見解析；（2）；
(3)存在，當時，平面。

本試題主要是考查了空間幾何體中線面的垂直問題，以及錐體的體積，和線面平行的判定綜合運用。
（1）連BD，四邊形ABCD菱形， ∵AD⊥AB， ∠BAD=60°
△ABD為正三角形， Q為AD中點， ∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q為AD的中點，AD⊥PQ 又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB.
（2）因為平面，那么是四棱錐的高，
利用錐體的體積公式得到。
（3）因為AQ//BC,那么結合PA//MN，得到判定定理，從而得到證明。
解：（1）連BD，四邊形ABCD菱形， ∵AD⊥AB， ∠BAD=60°
△ABD為正三角形， Q為AD中點， ∴AD⊥BQ…………………………2分
∵PA=PD，Q為AD的中點，AD⊥PQ……………………………3分
又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB. ………………………………5分
（2）平面平面
平面平面=
平面，
所以平面…………………………………7分
是四棱錐的高，
…………………………………9分
(3)存在，當時，平面
由可得，，……………………11分
  ………………………………………………………12分
平面，平面，平面………………14分