Question

（08年全國卷Ⅰ）（本小題滿分12分）

雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）設雙曲線方程為，右焦點

為，則．

不妨設　，

則　　，　　．

因為　，　　且，

所以　，

于是得　．

又與同向，故，

所以　　．

解得　　，或（舍去）．

因此　　．

所以雙曲線的離心率．

（Ⅱ）由知，雙曲線方程可化為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①

由的斜率為知，直線的方程為．．．．．．．．．．．②

將②代入①并化簡，得．

設與雙曲線的兩交點的坐標分別為，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③

被雙曲線所截得的線段長．．．④

將③代入④并化簡得，而由有已知，故，．

所以雙曲線方程為：．