Question

（08年全國卷Ⅰ理）（本小題滿分12分）

四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設與平面所成的角為，求二面角的大小．

Answer 1

【解析】 解法一：

（Ⅰ）作，垂足為，連接，

由題設知，底面，且為的中點，

由知，，

從而，于是．

由三垂線定理知，．

（Ⅱ）由題意，，所以側面，

又側面，所以側面側面，

作，垂足為，連接，則平面．

故為與平面所成的角，．

由，得

又，因而，所以為等邊三角形．

作，垂足為，連接．

由（Ⅰ）知，，又，

故平面，，是二面角的平面角．

，，

，，

則，

二面角為．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足為，則底面，且為的中點，

以為坐標原點，射線為軸正方向，建立如圖所示的直角坐標系．

設．由已知條件有

，

．

所以，得．

 

（Ⅱ）作，垂足為，連接．

設，則，

．

故．又，所以平面，

是與平面所成的角，．

由，得．

又，所以，所以為等邊三角形，因此．

作，垂足為，連接．在中，求得；

故　　．

　　　

又　　，

　　　．

所以與的夾角等于二面角的平面角．

由，

知二面角為．