Question

已知函數f（x）是奇函數，f（x）的定義域為（-∞，+∞）．當x＜0時，f（x）=

ln(-ex)

x

．這里，e為自然對數的底數．
（1）若函數f（x）在區間(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在極值點，求實數a的取值范圍；
（2）如果當x≥1時，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）試判斷 ln

1

n+1

與2(

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

)-n的大小關系，這里n∈N^*，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得當x＞0時，f（x）=

1+lnx

x

，從而可知f′（x）=-

lnx

x2

，利用f′（x）＞0可求得0＜x＜1；f′（x）＜0⇒x＞1，依題意即可求得實數a的取值范圍；
（2）依題意，可轉化為求k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1）恒成立問題，構造函數g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），利用導數法可求得g（x）_min=g（1）=2，從而可得實數k的取值范圍；
（3）由（2）知，當x≥1時，f（x）≥

2

x+1

⇒lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

，令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），得ln

2

1

＞1-

2

2

，ln

3

2

＞1-

2•2

3

，…ln

n+1

n

＞1-

2•n

n+1

，
將以上不等式兩端分別相加即可．

解答：解：依題意，x＞0時，f（x）=-f（-x）=

ln(ex)

x

=

1+lnx

x

，
（1）當x＞0時，有f′（x）=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1；f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1；
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，∞）上單調遞減，函數f（x）在x=1處取得唯一的極值．
由題意a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得

2

3

＜a＜1．
∴所求實數a的取值范圍為

2

3

＜a＜1．
（2）當x≥1時，f（x）≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

．
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)•x′

x2

=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′（x）=1-

1

x

≥0，當且僅當x=1時取等號．
∴h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（1）=1＞0．
因此，g′（x）=

h(x)

x2

＞0，g（x）在[1，+∞）上單調遞增，g（x）_min=g（1）=2．
∴k≤2．
∴所求實數k的取值范圍為（-∞，2]．
（3）由（2），當x≥1時，即f（x）≥

2

x+1

，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

．
從而lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．
令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），得ln

2

1

＞1-

2

2

，ln

3

2

＞1-

2•2

3

，
…
ln

n+1

n

＞1-

2•n

n+1

，
將以上不等式兩端分別相加，得ln（n+1）＞n-2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

），
∴ln

1

n+1

＜2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）-n．

點評：本題考查分析法與綜合法，著重考查導數在最大值、最小值問題中的應用，考查轉化思想與恒成立問題，屬于難題．