Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，E，F，G分別是AB，PB，CD的中點．

（1）求證：AC⊥PB；

（2）求證：GF∥平面PAD；

（3）求點G到平面PAB的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）

【解析】

(1)由題知,證明AC⊥平面即可.

(2) 取PA中點H,連接FH,HD,再證明即可.

(3)利用轉換法與等體積法VG﹣PAB＝VD﹣PAB＝VP﹣ABD計算即可.

（1）證明：如圖,連接AC,BD,

因為PD⊥面ABCD,且AC平面ABCD,

所以AC⊥PD,

又因為四邊形ABCD為菱形,

所以AC⊥BD,

又PD∩BD＝D,PD,BD平面PBD,

所以AC⊥平面PBD,

又PB平面PBD,

所以AC⊥PB；

（2）證明：如圖取PA中點H,連接FH,HD,

因為F為PB中點,

所以HF∥AB,且HFAB,

又因為四邊形ABCD為菱形,且G為CD中點,

所以DG∥AB,且DGAB,

所以HF∥DG,且HF＝DG,

所以四邊形HDGF為平行四邊形,

所以GF∥HD,

因為GF平面PAD,HD平面PAD,

所以GF∥平面PAD,

（3）解：設G到平面PAB的距離為h,

因為DC∥AB,DC平面PAB,AB平面PAB,

所以DC∥平面PAB,

所以VG﹣PAB＝VD﹣PAB＝VP﹣ABD,

所以,

所以h,

所以G到平面PAB的距離為．