Question

汽車(chē)和自行車(chē)分別從A地和C地同時(shí)開(kāi)出，如圖，各沿箭頭方向（兩方向垂直）勻速前進(jìn)，汽車(chē)和自行車(chē)的速度分別是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米．（汽車(chē)開(kāi)到C地即停止）
（1）經(jīng)過(guò)t秒后，汽車(chē)到達(dá)B處，自行車(chē)到達(dá)D處，設(shè)B、D間距離為y，寫(xiě)出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域．
（2）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，汽車(chē)和自行車(chē)之間的距離最短？最短距離是多少？

Answer 1

分析：（1）經(jīng)過(guò)t秒后，汽車(chē)到達(dá)B處、自行車(chē)到達(dá)D處，利用勾股定理可得BD²=BC²+CD²=125[（t-8）²+16]，從而可求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，及定義域；
（2）利用配方法求函數(shù)的最值，可知當(dāng)t=8秒時(shí)，汽車(chē)和自行車(chē)之間的距離最短．

解答：解：（1）經(jīng)過(guò)t秒后，汽車(chē)到達(dá)B處、自行車(chē)到達(dá)D處，
則BD²=BC²+CD²=（100-10t）²+（5t）²=125（t²-16t+80）=125[（t-8）²+16]…（4分）
所以y=BD=

125(t2-16t+80)

=

125[(t-8)2+16]

…（6分）
定義域?yàn)椋簍∈[0，10]…（8分）
（2）∵y=

125[(t-8)2+16]

，t∈[0，10]
∴當(dāng)t=8時(shí)，ymin=

125×16

=20

5

…（12分）
答：經(jīng)過(guò)8秒后，汽車(chē)和自行車(chē)之間的距離最短．最短距離是20

5

米．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理構(gòu)建函數(shù)模型，利用配方法解決最值問(wèn)題，屬于中檔題．