Question

設函數f（x）=

1

3

ax³+bx²+cx（a＜b＜c），其圖象在點A（1，f（1）），B（m，f（m））處的切線的斜率分別為0，-a．
（1）求證：0≤

b

a

＜1；
（2）若函數f（x）的遞增區間為[s，t]，求|s-t|的取值范圍；
（3）若當x≥k時（k是與a，b，c無關的常數），恒有f′（x）+a＜0，試求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數圖象在A，B兩點處的切線的斜率，可以得到f'（1）=0，f'（m）=-a，然后利用a，b，c的大小關系，確定a，c的符號，通過消元得到am²+2bm-2b=0，利用二次方程的根的情況，可得0≤

b

a

＜1，
（2）由導數的符號確定函數的單調增區間，利用二次方程根與系數的關系得到|s-t|關于a，b的關系式，即可得|s-t|的取值范圍；（3）由f'（x）+a＜0得ax²+2bx-2b＜0，通過轉換主元，利用不等式恒成立的條件得到x的范圍，從而得到k的范圍．

解答：解：（1）f'（x）=ax²+2bx+c，由題意及導數的幾何意義得
f'（1）=a+2b+c=0①f'（m）=am²+2bm+c=-a②
又a＜b＜c，可得3a＜a+2b+c＜3c，即3a＜0＜3c，故a＜0，c＞0，
由①得c=-a-2b，代入a＜b＜c，再由a＜0，得-

1

3

＜

b

a

＜1③
將c=-a-2b代入②得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有實根．
故其判別式△=4b²+8ab≥0得

b

a

≤-2，或

b

a

≥0④
由③，④得0≤

b

a

＜1；
（2）由f'（x）=ax²+2bx+c的判別式△'=4b²-4ac＞0，
知方程f'（x）=ax²+2bx+c=0（*）有兩個不等實根，設為x₁，x₂，
又由f'（1）=a+2b+c=0知，x₁=1為方程（*）的一個實根，則有根與系數的關系得x1+x2=-

2b

a

，x2=-

2b

a

-1＜0＜x1，
當x＜x₂或x＞x₁時，f'（x）＜0，當x₂＜x＜x₁時，f'（x）＞0，
故函數f（x）的遞增區間為[x₂，x₁]，由題設知[x₂，x₁]=[s，t]，
因此|s-t|=|x1-x2|=2+

2b

a

，由（Ⅰ）知0≤

b

a

＜1得|s-t|的取值范圍為[2，4）；
（3）由f'（x）+a＜0，即ax²+2bx+a+c＜0，即ax²+2bx-2b＜0，
因為a＜0，則x2+2•

b

a

x-2•

b

a

＞0，整理得(2x-2)

b

a

+x2＞0，
設g(

b

a

)=(2x-2)

b

a

+x2，可以看作是關于

b

a

的一次函數，由題意g(

b

a

)＞0對于0≤

b

a

＜1恒成立，
故

g(-1)≥0 g(0)＞0

即

x2+2x-2≥0 x2＞0

得x≤-

3

-1或x≥

3

-1，
由題意，[k，+∞)⊆(-∞，-

3

-1]∪[

3

-1，+∞)，
故k≥

3

-1，因此k的最小值為

3

-1．

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間，掌握不等式恒成立時所取的條件．是個難題．是個難題．