Question

在中，AB=2BF=4，C，E分別是AB，AF的中點（如下左圖）．將此三角形沿CE對折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右圖），已知D是AB的中點．

（1）求證：CD∥平面AEF;
（2）求證：平面AEF⊥平面ABF；
（3）求三棱錐C-AEF的體積，

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（３）．

試題分析：（1）求證：平面，證明線面平行，即證線線平行，可利用三角形的中位線，或平行四邊形的對邊平行，本題由于是的中點，由圖可知，利用中位線比較麻煩，可考慮利用平行四邊形的對邊平行，取中點，連結，則是的中位線，，又，故，四邊形是平行四邊形，從而得平面．（2）求證：平面平面，證明面面垂直，只需證明線面垂直，由平面圖知，這樣可得平面，從而，得，中，為的中點，所以，故平面，從而得證；（３）求三棱錐的體積，可轉化為求三棱錐的體積．
試題解析：（1）取中點，連結，因為分別是的中點，
所以 是的中位線，，且，四邊形是平行四邊形，所以，又平面，且平面，平面；．．．．．．．．．．４分

由左圖知，平面，又且右圖中平面，
所以四邊形為矩形，則，中，為的中點，
所以且，所以平面，又平面，平面平面
，由左圖知，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC平面BCEF=CE，
平面，即AC為三棱錐的高，