Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，E和F是l上的兩個不同點，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD內的兩點，EE′和FF′都與平面ABCD垂直．

(1)證明：直線E′F′垂直且平分線段AD；
(2)若∠EAD＝∠EAB＝60 °，EF＝2.求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）2.

(1)證明　∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，
∴E′D＝E′A，∴點E′在線段AD的垂直平分線上．
同理，點F′在線段BC的垂直平分線上．
又四邊形ABCD是正方形，
∴線段BC的垂直平分線也就是線段AD的垂直平分線，即點E′、F′都在線段AD的垂直平分線上．
∴直線E′F′垂直且平分線段AD.
(2)解　如圖，連接EB、EC，由題意知多面體ABCDEF可分割成正四棱錐E­ABCD和正四面體E­BCF兩部分．設AD的中點為M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝.

∴V_E­ABCD＝·S_{正方形ABCD}·EE′＝×2²×＝.
又V_E­BCF＝V_C­BEF＝V_C­BEA＝V_E­ABC＝S_△ABC·EE′＝××2²×＝，
∴多面體ABCDEF的體積為V_E­ABCD＋V_E­BCF＝2.