Question

【題目】已知拋物線的頂點在坐標原點，準線方程為，為拋物線的焦點，點為直線上任意一點，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準線交于、兩點，過、分別作準線的垂線交拋物線于點、.

（1）求拋物線的方程；

（2）證明：直線過定點，并求出定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.

【解析】

（1）設拋物線的標準方程為，根據拋物線的準線方程可求得的值，由此可求得拋物線的方程；

（2）設點的坐標為，求出圓的方程，與直線方程聯立，可得出關于、的二次方程，并設點、，可列出韋達定理，并求得直線的方程，進而可求得直線所過定點的坐標.

（1）設拋物線的標準方程為，

依題意，，拋物線的方程為；

（2），設，則，，

于是圓的方程為，

令，得，①

設、，由①式得，，②

直線的斜率為，

則直線的方程為，

代入②式就有，

因為上式對恒成立，故，即直線過定點.