Question

【題目】平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，且）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點P的極坐標為，Q為曲線上的動點，求的中點M到曲線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）化簡得到，再考慮，利用極坐標方程公式得到答案.

（2）P的直角坐標為，設點，故，代入圓方程得到M在圓心為，半徑為1的圓上，計算得到最大距離.

（1）因為，所以3×①+4×②，得.

又，

所以的普通方程為，

將，代入曲線的極坐標方程，得曲線的直角坐標方程為.

（2）由點P的極坐標，可得點P的直角坐標為.

設點，因為M為的中點，所以

將Q代入的直角坐標方程得，

即M在圓心為，半徑為1的圓上.

所以點M到曲線距離的最大值為，

由（1）知不過點，且，

即直線與不垂直.

綜上知，M到曲線的距離的最大值為.