Question

（1）已知a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，+∞），求證：

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論求函數f(x)=

2

x

+

9

1-2x

（x∈(0，

1

2

)）的最小值，指出取最小值時x的值．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘積一定，和有最小值，等號成立的條件是兩正數相等；
（2）利用（1）的結論，將（2）變形為f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

即可．

解答：解：（1）應用二元均值不等式，得(

a2

x

+

b2

y

)(x+y)=a2+b2+a2

y

x

+b2

x

y

≥a2+b2+2

a2 y x b2 x y

=（a+b）²，
故

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

．
當且僅當a2

y

x

=b2

x

y

，即

a

x

=

b

y

時上式取等號．
（2）由（1）f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25．
當且僅當

2

2x

=

3

1-2x

，即x=

1

5

時上式取最小值，即[f（x）]_min=25．

點評：本題考查不等式的應用，另外給你一種解題工具，讓你應用它來解答某一問題，這是近年考試命題的一種新穎的題型之一，很值得讀者深刻反思和領悟當中的思維本質．